布谷鸟过滤器

基本概念

布谷鸟过滤器 是一种节省内存空间的概率数据结构，基于 布谷鸟哈希算法 实现的过滤器，和 布隆过滤器 一样，用于检测指定元素是否存在于某个集合中，返回结果语义是 “元素一定不存在” 或 “有较大可能存在”。

和布隆过滤器比较

优点

• 布谷鸟过滤器支持删除元素，布隆过滤器不支持
• 高负载因子场景下，布谷鸟过滤器查询效率更高
• 对于存储数据量较大且期望误判率较低 (小于 3%) 的场景下，布谷鸟过滤器存储空间开销更低
• 布谷鸟过滤器比布隆过滤器更容易实现

缺点

• 布谷鸟过滤器采用一种备用候选桶的方案，候选桶与首选桶可以通过 位置 + 值指纹的哈希 通过 异或计算 得出，这种对应关系要求桶的大小必须是 2 的指数倍数 (如 4, 8, 16, 32...)
• 布隆过滤器插入时计算好哈希直接写入位即可，而布谷鸟过滤器在计算后可能会出现对应位置上已经存储了指纹，这时就需要将已存储的值踢出到候选桶，碰撞概率和插入耗时随着表元素增多而增大，因此其插入性能低于布隆过滤器
• 布隆过滤器插入重复元素时没有影响 (可以重复插入)，而布谷鸟过滤器对已存在的值会执行 踢出 操作，因此重复元素的插入存在上限
• 布谷鸟过滤器的删除并不完美，删除操作在相同哈希值仅被插入一次时是完美的，如果元素没有插入就进行删除，可能会出现误删除 (删除了相同哈希值的其他元素)， 如果元素插入了多次，但是每次删除操作只删除一个值，那么就需要知道元素插入了多少次才能彻底删除，或者循环删除直到失败为止

PS: 如果只需要保证 一定不存在 语义，那么删除时不论是否存在重复元素，直接删除即可。

布谷鸟哈希算法描述

• 使用两个哈希函数 H1, H2 和两个哈希表 T1, T2
• 插入元素 x
• 计算 x 的两个哈希值 idx1 = H1(x), idx2 = H2(x)
• 如果 T1[idx1], T2[idx2] 有一个为空，插入 x, 两者都为空，随便选一个插入 x
• 如果 T1[idx1], T2[idx2] 都不为空，则随便选择其中一个 (设为 y) 将其踢出，插入 x
• 重复上述过程，插入元素 y
• 如果插入时，踢出次数过多，则说明哈希表满了，进行扩容 (ReHash)，扩容完成后再次插入
• 查询元素 x
• 读取 T1[idx1], T2[idx2] 的值，和 x 比较

图(a) 算法过程描述:

• 插入元素 x
• 将对应桶的元素 y 踢出
• 将元素 y 插入到桶 z
• 将对应桶的元素 z 踢出
• 将元素 z 插入到其他桶中

图(b) 算法过程描述:

• 插入元素 x
• 插入失败，因为桶已经满了
• 触发扩容

伪代码

按照算法描述，翻译成伪代码如下 (不考虑并发情况):

package main

import (
 "math/rand"
 "time"
)

const (
 TSize = 1024 // 假设表的大小为 1024
)

var (
 T1 = make(map[int]any, TSize) // 哈希表 1
 T2 = make(map[int]any, TSize) // 哈希表 2
)

// 哈希函数 1
// 返回随机数作为哈希值
func H1(x any) int {
 rand.Seed(time.Now().UnixNano())
 return rand.Intn(TSize)
}

// 哈希函数 2
// 返回随机数作为哈希值
func H2(x any) int {
 rand.Seed(time.Now().UnixNano())
 return rand.Intn(TSize)
}

// 扩容操作，这里省略具体实现
func ReHash() {
 // do something
}

// 随机踢出一个元素
// 返回踢出的哈希桶编号以及元素索引
func KicksOut(x any) any {
 // 哈希桶已满
 if len(T1) == TSize && len(T2) == TSize {
  return nil
 }

 rand.Seed(time.Now().UnixNano())
 n := rand.Intn(2)

 var y any // 被踢出的元素 y

 // 直接利用 Go map 的无序遍历特性
 // 遍历时将 [第一个元素] 作为随机元素踢出
 if n == 0 {
  // 从 T1 桶随机选择一个元素踢出
  for k, v := range T1 {
   // 将 x 插入到 y 的桶 (覆盖式)
   T1[k] = x
   y = v
   break
  }
 } else {
  // 从 T2 桶随机选择一个元素踢出
  for k, v := range T2 {
   // 将 x 插入到 y 的桶 (覆盖式)
   T2[k] = x
   y = v
   break
  }
 }

 return y
}

// 插入元素
func Insert(x any) bool {
 idx1, idx2 := H1(x), H2(x)

 // 如果 T1 桶对应桶为空，则插入 T1
 if _, ok := T1[idx1]; !ok {
  T1[idx1] = x
  return true
 }
 // 如果 T2 桶对应桶为空，则插入 T2
 if _, ok := T2[idx2]; !ok {
  T2[idx2] = x
  return true
 }

 y := KicksOut(x)
 // 哈希桶已满，进行扩容
 if y == nil {
  ReHash()
 }

 // 插入元素 y
 return Insert(y)
}

不同的版本

一个哈希桶

如图所示，在未发生哈希碰撞之前，哈希桶的利用率只有 50%。

四路哈希桶

如图所示是一个改进的哈希桶，每个桶有 4 个槽位，当哈希函数映射到同一个桶时，其它 3 个槽位如果有空位，那么就不会有元素被踢出，降低了碰撞概率。

布谷鸟过滤器

布谷鸟过滤器 对 布谷鸟哈希算法 进行了如下优化改进:

• 使用多路哈希桶提高桶的利用率
• 只存储 key 的指纹以减少内存使用

通过异或计算寻找新桶

异或计算性质: 三个值中的任意两个值进行异或计算，都可以得出第三个值。

示例代码: 数字 1, 2, 3 执行异或计算

package main

func main() {
 println(1 ^ 2) // 3
 println(3 ^ 1) // 2
 println(3 ^ 2) // 1
}

布谷鸟过滤器 为了节省内存，保存的是 x 的指纹信息，而非源值，那么当某个元素 x 被踢出时，需要找一个新桶 h2(x)，如何在不损失 x 的指纹信息的情况下，计算新桶 (候选桶) 并存储呢？

布谷鸟过滤器 采用了巧妙的算法: 将桶 h1(x) 和 x 的指纹信息哈希值 hash( finger(x) ) 进行 异或计算 得出新的桶，这样当新桶的值后面被踢出时， 可以通过 异或计算 反转得到 x 的指纹信息。

对于元素 x, 计算两个哈希值:

h1(x) = hash(x), h2(x) = h1(x) ⊕ hash(x’s fingerprint)

踢出桶上的元素时 (不管该桶是 h1(x) 还是 h2(x))，直接使用该桶的索引 index 和存储在桶中的指纹信息计算备用桶 j

j = i ⊕ hash(fingerprint)

均衡分配

此外，指纹与桶进行 异或计算 之前会进行哈希，从而在表中均衡分配。如果备用位使用 i ⊕ hash(fingerprint) 计算时不将指纹进行哈希，且指纹的大小与表的大小相比很小，那么踢出的元素最终会落在邻近的桶。

例如使用 8 位指纹，踢出的元素将被放置到离桶 i 最多 256 (2^8) 的桶，因为 异或计算 将改变桶索引的低 8 位，而高位不会改变。 哈希指纹可以确保这些元素可以重新定位到哈希表的不同的桶中，达到均衡分配，减少哈希碰撞并提高表的利用率。

空间优化

较大的桶可以提高表的利用率，使用 2 个哈希函数，桶大小为 1 时，负载因子为 50% (上面提到的第一种布谷鸟哈希算法版本)， 但是当使用桶大小 2, 4, 8 时，负载因子分别会增加到 84%, 95%, 98%。

实验数据表明，当误判率 r > 0.002 时，每个桶使用 2 个槽位比 4 个槽位效果更好，当 r 为到 0.00001 < r ≤ 0.002 时，每个桶 4 个槽位可以最小化空间。

半排序桶

半排序的本质是: 对每个指纹取 4 位，该 4 位可以表示为一个 16 进制，对于 b 个指纹的 4 位存储就可以表示为 b 个 16 进制，进行 重复组合计算 后， 可以通过索引其位置来找到对应的指纹 (也就是某个组合值)。

假设每个桶包含 b = 4 个指纹，每个指纹 f = 4 bit，一个未压缩的桶占 4 x 4 = 16 bit。但是如果我们对每个 4 位指纹进行排序（空项被视为存储值为 "0" 的指纹)， 那么共有 3876 个重复组合值。如果我们预先计算并将 3876 个值存储在一个额外的表中 (表中每个位置表示一个指纹组合)，并将桶替换为预先计算好的表， 那么桶可以用 12 bit 表示整个表 (2 ^ 12 = 4096 > 3876)，而不是 16 bit 表示桶，这样算下来，平均每个指纹可以节省 1 bit。

3876 是怎样计算出来的？

其中 n 表示被选择的东西个数， r 表示选择个数，(顺序可以重复)。

根据数学公式，我们可以编写如下代码:

package main

import "fmt"

// 计算重复组合数量
func multiCombination(n, r int) int {
 if n == 0 || r == 0 {
  return 0
 }
 numerator := 1
 denominator := 1
 for i := 1; i <= r; i++ {
  numerator *= n + i - 1
  denominator *= i
 }
 return numerator / denominator
}

func main() {
 fmt.Printf("n = %d, r = %d, combinations = %d\n", 16, 4, multiCombination(16, 4))
}

在上面的代码中，计算了在 16 bit 中 4 bit 指纹的重复组合数量。

$ go run main.go

# 输出如下
n = 16, r = 4, combinations = 3876

开源库

有了前文的理论基础后，接下来一起探索下具体的代码实现。笔者选择开源的 linvon/cuckoo-filter 作为研究 布谷鸟过滤器 代码实现，版本为 v0.4.0。

这个库的优点

这里直接引用库作者的原文:

在翻阅了 Github 上 cuckoofilter 的 golang 实现后，发现已有的实现都存在一些缺点:

• 绝大部分的库都是固定 b 和 f 的，即假阳性率也是固定的，适应性不好
• 所有的库 f 都是以字节为单位的，只能以 8 的倍数来调整，不方便调整假阳性率
• 所有的库都没有实现半排序桶，相比于布隆过滤器的优势大打折扣

因为作者的场景需要更优的空间和自定的假阳性率，因此移植了原论文的 C++ 实现，并做了一些优化，主要包括:

• 支持调节参数
• 支持半排序桶
• 压缩空间到紧凑的位数组，按位存储指纹
• 支持二进制序列化

示例

package main

import (
 "fmt"
 "github.com/linvon/cuckoo-filter"
)

func main() {
 // 初始化一个布谷鸟过滤器
 // 使用半排序桶
 //    每个桶包含 4 个指纹, 每个指纹 4 bits
 // 最大存放元素数量 4096
 cf := cuckoo.NewFilter(4, 4, 1<<12, cuckoo.TableTypePacked)

 // 添加一些元素
 cf.Add([]byte(`Hello World`))
 cf.Add([]byte(`Hello Golang`))

 // 检测元素是否存在
 fmt.Printf("%v\n", cf.Contain([]byte(`Hello World`)))
 fmt.Printf("%v\n", cf.Contain([]byte(`Hello Golang`)))
 fmt.Printf("%v\n", cf.Contain([]byte(`Hello Rust`)))

 // 输出元素数量
 fmt.Printf("filter size = %d\n", cf.Size())

 // 删除元素
 cf.Delete([]byte(`Hello World`))

 // 输出过滤器统计信息
 fmt.Println("\n", cf.Info())
}

$ go run main.go

# 输出如下

true
true
false
filter size = 2

CuckooFilter Status:

PackedHashtable with tag size: 4 bits
4 packed bits(3 bits after compression) and 0 direct bits
Associativity: 4
Total # of rows: 2048
Total # slots: 8192

Keys stored: 1
Load factor: 0.0001220703125
Hashtable size: 3 KB
bit/key:   24632

源码解析

接口

linvon/cuckoo-filter 实现了 普通单表 和空间优化的 基于半排序桶的压缩表，将两者的通用部分抽象为 table 接口，通过运行时的 工厂方法 可以在初始化时根据不同的参数生成不同的过滤器。

const (
 // 普通表
 TableTypeSingle = 0

 // 压缩表
 TableTypePacked = 1
)

type table interface {
  ...
}

func getTable(tableType uint) interface{} {
 switch tableType {
 case TableTypePacked:
  return NewPackedTable()
 default:
  return NewSingleTable()
 }
}

过滤器数据结构

victimCache 结构体表示过滤器执行 Add 操作时被 踢出 的元素对象。

type victimCache struct {
 index uint
 tag   uint32
 used  bool
}

Filter 结构体表示 过滤器 对象，非常简洁，只有三个字段: 被踢出元素, 元素数量, 底层用于存储的表实例。

type Filter struct {
 victim   victimCache
 numItems uint
 table    table
}

初始化过滤器

func NewFilter(tagsPerBucket, bitsPerItem, maxNumKeys, tableType uint) *Filter {
 // 根据表内存放元素和每个桶的元素指纹数量，计算需要的桶的数量
 numBuckets := getNextPow2(uint64(maxNumKeys / tagsPerBucket))

 // 如果表的负载因子过高，就将桶的数量扩容 (翻 1 倍)
 // 负载因子如何计算出来的呢？
 //    框架这里进行了 3 个硬编码的值:
 //        默认:      0.99
 //        桶大小为 2: 0.85
 //        桶大小为 4: 0.96
 if float64(maxNumKeys)/float64(numBuckets*tagsPerBucket) > maxLoadFactor(tagsPerBucket) {
  numBuckets <<= 1
 }

 // 桶最少得有 1 个
 if numBuckets == 0 {
  numBuckets = 1
 }

 // 工厂方法根据参数类型生成过滤器
 table := getTable(tableType).(table)

 // 表初始化
 _ = table.Init(tagsPerBucket, bitsPerItem, numBuckets, nil)
 return &Filter{
  table: table,
 }
}

添加元素

Add 方法添加一个元素到表中，返回是否添加成功。

func (f *Filter) Add(item []byte) bool {
 // 如果被踢出的元素没有找到可用的桶
 // 那么继续添加元素只会进入恶行循环，降低性能
 // 此时直接返回即可
 if f.victim.used {
  return false
 }

 // 计算哈希值和桶索引，然后将元素添加到表中对应的桶
 i, tag := f.generateIndexTagHash(item)
 return f.addImpl(i, tag)
}

查找元素

Contain 方法检测给定元素是否存在于表中。

func (f *Filter) Contain(key []byte) bool {
 // 计算元素的哈希值和桶索引
 i1, tag := f.generateIndexTagHash(key)
 // 计算候选桶索引
 i2 := f.altIndex(i1, tag)

 hit := f.victim.used && tag == f.victim.tag && (i1 == f.victim.index || i2 == f.victim.index)

 // 满足以下两个条件之一，说明参数元素存在于表中:
 //    1. 参数元素和表内被踢出元素的哈希值以及桶位置相同
 //    2. 在表的某个桶内找到了相同的参数元素哈希
 if hit || f.table.FindTagInBuckets(i1, i2, tag) {
  return true
 }
 return false
}

计算元素数量

Size 方法计算表内当前存储的元素数量，如果 被踢出元素 一直没有找到可用的桶，元素数量 + 1。

func (f *Filter) Size() uint {
 var c uint
 if f.victim.used {
  c = 1
 }
 return f.numItems + c
}

计算负载因子

LoadFactor 方法计算当前表的 负载因子, 计算公式为:

表内当前元素数量 / 表内可存储元素数量

func (f *Filter) LoadFactor() float64 {
 return 1.0 * float64(f.Size()) / float64(f.table.SizeInTags())
}

重置过滤器

Reset 方法会重置过滤器，相当于重新初始化。

func (f *Filter) Reset() {
    // 底层表内元素初始化为 0
    f.table.Reset()

    // 元素计数归 0
    f.numItems = 0

    // 重置被踢出元素
    f.victim.index = 0
    f.victim.tag = 0
    f.victim.used = false
}

计算误判率

FalsePositiveRate 方法计算 过滤器 的 误判率，需要注意的是，该方法会调用 Reset 方法重置 过滤器。

func (f *Filter) FalsePositiveRate() float64 {
 n1 := make([]byte, 4)

 f.Reset() // 重置过滤器

 // 获取底层表可存储元素数量
 n := f.table.SizeInTags()
 // 循环向表内添加元素，元素为 [0 ... n]
 for i := uint32(0); i < uint32(n); i++ {
  binary.BigEndian.PutUint32(n1, i)
  f.Add(n1)
 }

 // 计算误判率采用的检测次数 (这里硬编码为 10 W)
 var rounds uint32 = 100000
 // 误判计数
 fp := 0
 for i := uint32(0); i < rounds; i++ {
  // 给定一个不可能存在表中的元素
  binary.BigEndian.PutUint32(n1, i+uint32(n)+1)
  // 正常情况下，Contain 方法返回的都是 false
  if f.Contain(n1) {
   // 如果 Contain 方法返回 true, 则属于误判
   // 误判计数 + 1
   fp++
  }
 }
 f.Reset()  // 重置过滤器

 // 误判计数 / 检测次数 = 误判率
 return float64(fp) / float64(rounds)
}

哈希算法

module github.com/linvon/cuckoo-filter

go 1.14

require github.com/dgryski/go-metro v0.0.0-20200812162917-85c65e2d0165

从 go.mod 文件定义中可以看到，linvon/cuckoo-filter 使用的哈希算法是 MetroHash。

MetroHash 是一个哈希函数算法，可用于计算输入数据的 64 位 和 128 位哈希值，支持增量式哈希计算，具有较高的性能和较低的碰撞率概率。

func (f *Filter) altIndex(index uint, tag uint32) uint {
 // 0x5bd1e995 是 MurmurHash2 算法的哈希常量
 return f.indexHash(uint32(index) ^ (tag * 0x5bd1e995))
}

此外，在计算 候选桶 的索引时，也用到了 Murmur2 算法。

省略部分

普通单表 和 压缩表 的底层表存储实现，由于时间关系不再展开分析，感兴趣的读者可以自行阅读源代码。

调用关系图

小结

本文概括了 布谷鸟过滤器 的算法描述，并对比了其和 布隆过滤器 的主要差异。在代码实现方面，笔者选择了开源的 linvon/cuckoo-filter^[1], 着重分析了库的接口设计和主要 API 方法实现。最后顺带提一下，如果读者决定使用 linvon/cuckoo-filter 到项目中，需要注意的是: 库内部并没有做 并发限制，使用 Add, Contain 等方法时可能会遇到常见的 并发竞态 问题，这就要求调用方在使用时需要做好相应的并发处理。

Reference

• Cuckoo Filter: Practically Better Than Bloom^[2]
• Cuckoo filter^[3]
• 布谷鸟哈希和布谷鸟过滤器^[4]
• 布谷鸟过滤器实战对比与调参指南^[5]
• 布谷鸟过滤器：实际上优于布隆过滤器^[6]
• linvon/cuckoo-filter^[7]
• Cuckoo Hashing Visualization^[8]
• List of hash functions^[9]

链接