机器学习之线性代数：矩阵

矩阵是向量的集合，把多个向量组织在一起就构成了一个矩阵。例如在三维空间内，有A、B、C三个向量。

将A、B、C三个向量按照行的方式组织在一起构成了矩阵M：

将A、B、C三个向量按照列的方式组织在一起构成了矩阵T：

矩阵M的向量称为行向量，矩阵T的向量称为列向量。下面给出矩阵的定义：

矩阵是由m X n个数aij排列成的m行n列的数表，称为m行n列矩阵，简称m X n 矩阵。矩阵表示如下：

在上述定义中，可以把矩阵A看作是由m个：

向量构成的。

如果矩阵的行和列相同，即矩阵是由n X n个数aij排列成的n行n列的数表，称为n阶矩阵。

矩阵的转置运算

前面的矩阵M和矩阵T可以互相转换，这种转换称为矩阵的转置运算。矩阵的转置就是把矩阵的行列互换，行变成列，列变成行。例如对M矩阵行列互换后，就构成了矩阵T。

下面给出矩阵的转置概念：

把m X n矩阵A的行列依次互换得到n X m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT。

矩阵的转置运算满足下面的运算律：

转置矩阵的转置矩阵是原矩阵。

A与B和的转置矩阵等于A的转置矩阵与B的转置矩阵的和。

A与B矩阵积的转置矩阵等于B的转置矩阵与A的转置的积（顺序不能颠倒）。

矩阵的加法运算

设有矩阵A和矩阵B：

如何计算A+B和A-B呢？

两个矩阵进行加法和减法运算有一个前提条件，就是两个矩阵的行数和列数相同，在这种情况下，两个矩阵相加和相减的结果是一个新的矩阵，新矩阵的行数和列数和原来矩阵的行列数相同，其元素分别是两个矩阵对应元素的和值和差值。

矩阵的加法和减法运算可以看作矩阵内对应向量的加法或减法运算。例如在计算A+B的过程中，A的列向量或行向量分别与B的列向量或行向量相加，结果是新矩阵的列向量或行向量。

纯量与矩阵的乘法运算

纯量与矩阵相乘，结果矩阵与原矩阵的行列数相同，其元素的值是原矩阵中每个对应元素与纯量相乘的数值。

（-1）* B的计算过程如下所示：

例1：编写Python程序，实现前面矩阵A和B的加法运算和减法运算。

在Python程序中，使用嵌套列表定义一个二维数组，这个二维数组就是一个矩阵。

#使用嵌套列表定义矩阵A和BA = [[-1,3,2],[5,7,-2],[-3,0,1]]B = [[8,2,-1],[6,4,0],[-2,3,5]]  #定义矩阵C，存储A+B的结果C = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]  #定义矩阵D，存储A-B的结果D = [[0,0,0],[0,0,0],[0,0,0]]  # 遍历A矩阵的行for i in range(len(A)):   # 遍历A矩阵的列   for j in range(len(A[0])):       C[i][j] = A[i][j] + B[i][j]       D[i][j] = A[i][j] - B[i][j]print(C)print(D)  在实际应用中，一般使用numpy对矩阵进行运算。# 导入numpy模块import numpy as np  # 定义矩阵A = np.array([[-1,3,2],[5,7,-2],[-3,0,1]])B = np.array([[8,2,-1],[6,4,0],[-2,3,5]])  # 矩阵运算print(A+B)print(A-B)